会社の雇用問題について。

昨年の8月から現在の会社に勤務しています。求人誌で見て応募し、採用となりました。

・正社員として採用された。
・月曜から金曜の10:00~20:00が基本的な就業時間。
・求人誌には社会保険完備と記載があったが現在までに会社から保険証はもらってなく、国民健康保険を自分で払っている。
・給料は毎月同じ額が銀行口座に振り込まれている(ただし、入金日は17日、25日、31日だったりと毎月同じではない)
・給料明細は入社以降一度も発行されていない。
・最近気づいたが昨年暮れにも今年の1月にも年末調整の用紙をもらっていないので、恐らく確定申告をしてくれていない(勝手にしている事は可能性ありますか？自分では年末調整用紙にサインなどした記憶はありません)
・本日(3/23)ハローワークで確認したら現在まで雇用保険にも未加入だった。

以上の事から、確定申告もされていないと思われます。
給料も毎月同じ額が振り込まれるだけで、何が引かれているのかとかも一切分かりません(住民税も引かれていない可能性もあるので、滞納してる事になりますでしょうか…)

ただ、会社の名前で毎月口座に給料が振り込まれてる記録だけは残っています。当然、会社自体は納税申告などしていると思いますが、私の給料はちゃんと「お給料」として振り込んでくれているのでしょうか。それとも何か別の名目として処理されている可能性が高いでしょうか。

ちょっとずさん過ぎるので、会社を近々に辞めようと思うのですが、給料が口座に振り込まれている点だけが、どうしてなのか分かりません。
雇用保険にも未加入ですし、私が今の会社に在籍している事になっていない可能性が高いと言う事でしょうか？
また、会社にどのようなポイントからこの話を切り出した方が良いでしょうか。
とりあえず来月中には辞めたいと思っています。
うまく疑問点の説明が出来なくて申し訳ありません。
宜しくお願い致します。