拒否権がない時間外労働

変形労働制、36協定あり（多分）、シフト制、土日祝休みの保育園で働いています。
1日の基本勤務時間は9.5時間ですが、変形労働制なので労働時間は31日の月は177H、30日の月は171Hです。
そのため月に何日か短い勤務時間を作れるので、半日勤務（6H程度）のシフトを作っています。

ですが、慢性的に人手不足のためその半日勤務も全日勤務するように言われ、結局ほぼ毎日10H勤務しています。
おまけに残業も多く、持病の通院さえ出来ず持病が悪化しています。

来月は身内の病気の都合でどうしても全日勤務が難しい日が2日間あり、また「出勤して」と言われるのを覚悟で半日勤務のシフトを作り上司に提出しました。
案の定「人手不足だから出勤してほしい」「他園からのヘルプがなくても回せる」「私も上から言われている」と、私には拒否権がありません。
半日勤務したい理由をちゃんと説明して何度も「無理です」と伝えましたが、「じゃあ正社員やめる？」と言われました。
結局話が進まないので、私から「さらに上司を交えて話がしたい」と提案し、「分かりました」と言われました。
その際捨て台詞のように、「そんなことで上から連絡はないと思うけど」と言われ、身内の命に関わることの理由を「そんなこと」扱いされたのが許せず激しい言い合いになりました。
さらに上司へお互い報告する、という形で話は一旦終わり、私からさらに上司へ電話しましたが繋がらず留守電に入れています。

元々上の方たちはレスポンスが遅いので本当に今後話し合いができるのかは不明です。
実際に今までも、「採用時の条件と違うこと」「通勤時間が2H弱で辛いから半日勤務→全日勤務はしんどいこと」を訴えてもスルーされ、私は「言えば出勤してくれる人」と認識されているようです。

先に話した上司が言うように、休みたい日の労働を拒否したら私は社員を辞めさせられる可能性はありますか？
そもそも毎日の休憩は一度も取れたことはなく、手術を要する病気を患っていたときも、体調不良のときも「代わりが決まるまで出勤」が原則です。
熱が出たときも早退できず、1人で保育すること（違法）もありました。
他にも色々とありますが、労働環境が悪いのは慢性的な人手不足が一番の原因です。
「人がいないから身内の病気が理由でも出勤しろ」はOKなのですか？